Аркадий Кулешов родился 6 февраля 1914 года в деревне Самотевичи (ныне Костюковичского района Могилевской области Беларуси) в семье сельских учителей.

В 1928 году после окончания Самотевичской семилетней школы Аркадий Кулешов поступил в Мстиславский педагогический техникум. В Мстиславле работало отделение «Маладняка». Здесь начинали свою поэтическую жизнь талантливые художники слова Юлий Таубин и Змитрок Остапенко. Дружба с ними оказала большое влияние на становление Аркадия Кулешова как поэта.

В 1930 году А. А. Кулешов переехал в Минск, где продолжал учебу на литературном факультете Минского педагогического института (1931–1933).

Участник Великой Отечественной войны. 24 июня 1941 года А. А. Кулешов покинул разрушенный фашистской бомбардировкой, охваченный пожаром Минск. Пешком он дошел до Орши, потом добрался до Калинина и там вступил в РККА. Под Новгородом закончил военно-политическое училище и был направлен в армейскую газету «Знамя советов».

В 1945–1946 годах работал главным редактором газеты «Літаратура і мастацтва», затем начальником сценарного отдела, а с 1958 по 1967 годы главным редактором киностудии «Беларусьфильм».

Депутат Верховного Совета БССР 2–8-го созывов (1947–1978).

Кулешов умер в городе Несвиже в ночь на 4 февраля 1978 года.